柯西-欧拉方程[[编辑](https://zh.wikipedia.ahau.cf/w/index.php?title=柯西-歐拉方程&action=edit&section=0&summary=/* top */ )]

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柯西-欧拉方程是形式如 {\displaystyle x^{2}y’’+bxy’+cy=0} $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ （其中{\displaystyle b,c} $b,c$ 是常数）的二阶常微分方程。

解法[编辑]

观察可知{\displaystyle y=x^{r}} $y=x^{r}$ 是一个特定解：

因为{\displaystyle x^{r}=0} $x^{r}=0$ 当且仅当{\displaystyle x=0} $x=0$ ，所以要考虑二次方程{\displaystyle r^{2}+(b-1)r+c=0} $r^{2}+(b-1)r+c=0$ 的解。

设{\displaystyle p,q} $p,q$ 为二次方程的解。若{\displaystyle p,q} $p,q$ 不相等，{\displaystyle y} $y$ 的一般解则为{\displaystyle y=Ax^{p}+Bx^{q}} $y=Ax^{p}+Bx^{q}$ 。

若{\displaystyle p=q=(1-b)/2} $p=q=(1-b)/2$ ，其中一个特定解为{\displaystyle x^{r}\ln {x}} $x^{r}\ln {x}$ ：

代入{\displaystyle r=(1-b)/2} $r=(1-b)/2$ 便知右方括号内等于0。因此核实{\displaystyle x^{r}\ln {x}} $x^{r}\ln {x}$ 是一个特定解。

于是，便有两个线性独立解，继而可得：{\displaystyle y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}} $y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}$ 。